4.6.3.5. Нормальное распределение

4.6.3.5. Нормальное распределение

4.6.3.5. Нормальное распределение

Мы уже знакомы с понятиями «распределение»,«полигон» (или «частный полигон») и«кривая распределения». Частным случаемэтих понятий является «нормальноераспределение» и «нормальная кривая».Но этот частный вариант очень важен прианализе любых научных данных, в томчисле и психологических.

Дело в том, чтонормальное распределение, изображаемоеграфически нормальной кривой, естьидеальное, редко встречающееся вобъективной действительностираспределение. Но его использованиемногократно облегчает и упрощаетобработку и объяснение получаемых внатуре данных.

Более того, только длянормального распределения приведенныекоэффициенты корреляции имеют истолкованиев качестве меры тесноты связи, в другихслучаях они такой функции не несут, аих вычисление приводит к труднообъяснимымпарадоксам.

В научных исследованиях обычно принимаетсядопущение о нормальности распределенияреальных данных и на этом основаниипроизводится их обработка, после чегоуточняется и указывается, насколькореальное распределение отличается отнормального, для чего существует рядспециальных статистических приемов.Как правило, это допущение вполнеприемлемо, так как большинство психическихявлений и их характеристик имеютраспределения, очень близкие к нормальному.

Так что же такое нормальное распределениеи каковы его особенности, привлекающиеученых? Нормальным называется такоераспределение величины, при которомвероятность ее появления и не появленияявляется одинаковой.

Классическаяиллюстрация – бросание монеты. Еслимонета правильна и броски выполняютсяодинаково, то выпадение «орла» или«решки» равновероятно.

То есть «орел»с одинаковой вероятностью может выпастьи не выпасть, то же касается и «решки».

Мы ввели понятие «вероятность». Уточнимего. Вероятность – это ожидаемаячастота наступления события (появления– не появления величины).

Выражаетсявероятность через дробь, в числителекоторой – число сбывшихся событий(частота), ав знаменателе – предельновозможное число этих событий.

Когдавыборка (число возможных случаев)ограниченна, то лучше говорить не овероятности, ао частости, с котороймы уже знакомы. Вероятность предполагаетбесконечное число проб. Но на практикеэта тонкость часто игнорируется.

Пристальный интерес математиков ктеории вероятности в целом и кнормальному распределению в частностипоявляетсяв XVIIвекев связи со стремлением участниковазартных игр найти формулу максимальноговыигрыша при минимальном риске. Этимивопросами занялись знаменитые математикиЯ. Бернулли (1654-1705) и П. С. Лаплас (1749-1827).

Первым математическое описание кривой,соединяющей отрезки диаграммыраспределения вероятностей выпадения«орлов» при многократном бросаниимонет, далАбрахам де Муавр (1667-1754).Эта кривая очень близка кнормальнойкривой, точное описание которой далвеликий математикК. Ф. Гаусс (1777-1855),чье имя она и носит поныне.

График иформула нормальной (Гауссовой) кривойвыглядит следующим образом.

где Р – вероятность (точнее, плотностьвероятности), т. е. высота кривой надзаданным значением Z; е –основание натурального логарифма(2.718…); π= 3.142…; М – среднее выборки;σ– стандартное отклонение.

Свойства нормальной кривой

  1. Среднее (М), мода (Мо) и медиана (Me) совпадают.

  2. Симметричность относительно среднего М.

  3. Однозначно определяется всего лишь двумя параметрами – М и о.

  4. «Ветви» кривой никогда не пересекают абсциссу Z, асимптотически к ней приближаясь.

  5. При М = 0 и о =1 получаем единичную нормальную кривую, так как площадь под ней равна 1.

  6. Для единичной кривой: Рм = 0.3989, а площадь под кривой в диапазоне:

-σдо +σ= 68.26%; -2σдо + 2σ= 95.46%; -Зσдо + Зσ= 99.74%.

7. Для неединичных нормальныхкривых (М ≠0,σ≠1)закономерность по площадям сохраняется.Разница – в сотых долях.

Вариации нормальногораспределения

Представленные ниже вариацииотносятся не только к нормальномураспределению, но к любому. Однако длянаглядности мы их приводим здесь.

1. Асимметрия – неодинаковостьраспределения относительно центральногозначения.

Рис. 6. Графики асимметричного распределения

Асимметрия – третий показатель,описывающий распределение наряду смерами центральной тенденции иизменчивостью. Эксцесс – показатель,характеризующий скорость нарастанияконцентрации данных к центральномузначению. На графиках это выражается«островершинностью» или «плосковершинностью».

Эксцесс – четвертый основной показательраспределения. 3. Бимодальность –распределение с двумя классами данныхв выборке. Об этом эффекте уже говорилосьпри рассмотрении моды (Мо). На графикеэто выражается «двувершинностью».

Источник: https://studfile.net/preview/3016343/page:15/

Нормальное распределение вероятностей

4.6.3.5. Нормальное распределение

Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма:

Перед вами принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.

Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.

Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.

Более того, даже дискретные распределения бывают близкИ к нормальному, и в конце урока мы раскроем важный секрет «нормальности». Но прежде, математика, математика, математика, которая в древности не зря считалась философией!

Непрерывная случайная величина , распределённая по нормальному закону, имеет функцию плотности  (не пугаемся) и однозначно определяется параметрами  и .

Данная функция получила фамилию некоронованного короля математики, и я не могу удержаться, чтобы не запостить:

Одну из таких купюр мне довелось лично держать в руках, и ещё будучи школьником я внимательно изучил функцию Гаусса. Педантичные немцы отобразили все её особенности (на картинке видно плохо), и мы с толком, с расстановкой приступаем к их немцев изучению.

Начнём с того, что для функции  выполнены свойства плотности вероятностей , а именно  (почему?) и , откуда следует, что нормально распределённая случайная величина достоверно примет одно из действительных значений. Теоретически – какое угодно, практически – узнаем позже.

Любопытно отметить, что сам по себе неопределённый интеграл  является неберущимся, однако указанный выше несобственный интеграл сходится и равен . Вычисления для простейшего случая  можно найти здесь, все же остальные варианты сводятся к нему с помощью линейной замены .

Следующие замечательные факты я тоже приведу без доказательства:

 – то есть, математическое ожидание нормально распределённой случайной величины в точности равно «а»,  а  среднее квадратическое отклонение в точности равно «сигме»: .

Эти значения выводятся с помощью общих формул математического ожидания и дисперсии, и желающие / нуждающиеся могут ознакомиться с подробными выкладками в учебной литературе, и совсем здОрово, если вам удастся провести их самостоятельно.

Ну а мы переходим к насущным практическим вопросам. Практики сегодня будет много, и она будет интересна не только «чайникам», но и более подготовленным читателям:

Пример 1

Нормально распределённая случайная величина задана параметрами . Записать её функцию плотности и построить график.

Несмотря на кажущуюся простоту задания, в нём существует немало тонкостей.

Первый момент касается обозначений. Они стандартные, и никаких вольностей: математическое ожидание обозначают буквой  (реже  или  («мю»)), а стандартное отклонение – буквой . Кстати, обратите внимание на формулировку: в условии ничего не сказано о сущности параметров «а» и «сигма», и несведущий человек может только догадываться, что это такое.

Решение начнём шаблонной фразой: функция плотности нормально распределённой случайной величины имеет вид  . В данном случае  и:

Первая, более лёгкая часть задачи выполнена. Теперь график. Вот на нём-то, на моей памяти, студентов «заворачивали» десятки раз, причём, многих неоднократно. По той причине, что график  обладает несколькими принципиальными особенностями, которые нужно обязательно отобразить на чертеже.

Сначала полная картина, затем комментарии:

Строим декартову систему координат. При выполнении чертежа от руки во многих случаях оптимален следующий масштаб:

по оси абсцисс: 2 тетрадные клетки = 1 ед.;

по оси ординат: 2 тетрадные клетки = 0,1 ед., при этом саму ось следует расположить из тех соображений, что в точке  функция достигает максимума, и вертикальная прямая  (на чертеже отсутствует) является линией симметрии графика.

И логично, что в первую очередь удобно найти максимум функции. В данном примере он находится в точке :

Отмечаем вершину графика (красная точка).

Далее вычислим значения функции при , а точнее только одно из них – в силу симметрии графика они равны:

Отмечаем синим цветом.

Внимание!  – это точки перегиба нормальной кривой. На интервале  график является выпуклым, а на крайних интервалах – вогнутым.

Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение  и рассчитываем высоту:

Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.

На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота, и «залезать» за неё категорически нельзя!

При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений  и .

При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма») график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево соответственно.

Так, например, при  функция принимает вид  и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:

Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная; её функция плотности  –  чётная, и график симметричен относительно оси ординат.

В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а»), график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении  он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца.

И, наоборот, при уменьшении  график становится более узким и высоким – получается «удивлённый осьминог».

Так, при уменьшении «сигмы» в два раза:  предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:

Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков.

Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным, а если оно ещё и центрировано (наш случай), то такое распределение называют стандартным.

Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа: .

Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.

Ну а теперь смотрим кино:

Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей. Вспоминаем её определение:
 – вероятность того, что случайная величина  примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.

Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению  ставится в соответствие несобственный интеграл , который равен некоторому числу из интервала .

Почти все значения  не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции  стандартного распределения  соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – и готово:

На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения, и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты и точку перегиба .

Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти –вероятность того, что нормальная случайная величина  примет значение из интервала .

Геометрически эта вероятность равна площади между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:

но каждый раз вымучивать приближенное значение   неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу:
.

! Вспоминает также, что

Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения , скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?

Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:
 

Примечание: функцию  легко получить из общего случая  с помощью линейной замены . Тогда  и:

и из проведённой замены как раз следует формула  перехода от значений  произвольного распределения – к соответствующим значениям  стандартного распределения.

Зачем это нужно? Дело в том, что значения  скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений , с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа:

В силу очевидной нечётности функции Лапласа (), в таблице представлены её значения только для положительных «икс», и по причине симметрии нормального распределения этого оказывается достаточно. Итак, вероятность того, что нормальная случайная величина  с параметрами  и  примет значение из интервала , можно вычислить по формуле:

, где  – функция Лапласа.

Таким образом, наша задача становится чуть ли не устной! Порой, здесь хмыкают и говорят, что метод устарел. Может быть…, но парадокс состоит в том, что «устаревший метод» очень быстро приводит к результату! И ещё в этом заключена большая мудрость – если вдруг пропадёт электричество или восстанут машины, то у человечества останется возможность заглянуть в бумажные таблицы и спасти мир =)

Пример 2

Из пункта  ведётся стрельба из орудия вдоль прямой . Предполагается, что дальность полёта распределена нормально с математическим ожиданием 1000 м и средним квадратическим отклонением 5 м. Определить (в процентах) сколько снарядов упадёт с перелётом от 5 до 70м.

Классика жанра.

Решение: в задаче рассматривается нормально распределённая случайная величина  – дальность полёта снаряда, и по условию .

Так как речь идёт о перелёте за цель, то . Вычислим вероятность  – того, что снаряд упадёт в пределах этой дистанции.

Если в нашем распоряжении есть таблица значений функции , то используем формулу :

Для самопроверки можно задействовать экселевскую функцию =НОРМСТРАСП(z) или напрямую «забить»  и затем  в Пункт 9 расчётного макета.

Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа , то решаем через неё:

Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5 макета.

Напоминаю, что , и во избежание путаницы всегда контролируйте, таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.

Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:

– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов

Тренируемся самостоятельно:

Пример 3

Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.

В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.

И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал  симметричен относительно математического ожидания.  В такой ситуации его можно записать в виде  и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:

Параметр «дельта» называют отклонением от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля:

 – вероятность того, что значение случайной величины  отклонится от математического ожидания менее чем на .

Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
 – вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.

Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое

правило «трех сигм»

Его суть состоит в том, что практически достоверным является тот факт, что нормально распределённая случайная величина  примет значение из промежутка .

И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на  составляет:
 или 99,73%

В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.

В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез.

Продолжаем решать суровые советские задачи:

Пример 4

Случайная величина  ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.

Решение очень простое. По условию,  и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то) мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение  и по формуле :

 – вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.

Ответ:

Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении. Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений.

Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте), а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.

Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора.

Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать.

Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.

…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)

Самостоятельно решаем обратную задачу:

Пример 5

Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно  мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью  попадет длина диаметра валика.

Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.

И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:

Пример 6

Нормально распределенная случайная величина  задана своими параметрами  (математическое ожидание) и  (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что  примет значение из интервала  ;
в) найти вероятность того, что  отклонится по модулю от  не более чем на ;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины .

Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц 😉

Ну а я разберу пример повышенной сложности:

Пример 7

Плотность распределения вероятностей случайной величины  имеет вид . Найти , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения , построить графики плотности и функции распределения, найти .

Решение: прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение. И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:

Так как функция  определена при любом действительном значении , и её можно привести к виду , то случайная величина  распределена по нормальному закону.

Приводим. Для этого выделяем полный квадрат и организуем трёхэтажную дробь:
Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:
, что мы и хотели увидеть.

Таким образом:
 – по правилу действий со степенями «отщипываем» . И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:

Теперь найдём значение параметра . Поскольку множитель нормального распределения имеет вид  и , то:
, откуда выражаем  и подставляем в нашу функцию:
, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид .

Построим график плотности:

и график функции распределения :

Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке  функция распределения принимает значение  и здесь находится перегиб графика (малиновая точка) Кроме того, для более или менее приличного чертежа желательно найти ещё хотя бы пару точек. Берём традиционное значение  и стандартизируем его по формуле . Далее с помощью таблицы значений функции Лапласа находим:  – жёлтая точка на чертеже. С симметричной оранжевой точкой никаких проблем:  и:
.

После чего аккуратно проводим интегральную кривую, не забывая о перегибе и двух горизонтальных асимптотах.

Да, и ещё нужно вычислить:
 – вероятность того, что случайная величина  примет значение из данного отрезка.

Ответ:

Но этим, конечно, всё дело не ограничивается! Дополнительные примеры, причём довольно творческие, можно найти в тематической pdf-книжке.

И в заключение урока обещанный секрет:

понятие о центральной предельной теореме

которую также называют теоремой Ляпунова. Её суть состоит в том, что если случайная величина  является суммой очень большого числа взаимно независимых случайных величин , влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то  имеет распределение, близкое к нормальному.

В окружающем мире условие теоремы Ляпунова выполняется очень часто, и поэтому нормальное распределение (близкое к нему) и встречается буквально на каждом шагу.

Так, например, молекул воздуха очень и очень много, и каждая из них своим движением оказывает ничтожно малое влияние на всю совокупность. Поэтому скорость молекул воздуха распределена нормально.

Большая популяция некоторых особей. Каждая из них (или подавляющее большинство) оказывает несущественное влияние на жизнь всей популяции, следовательно, длина их лапок тоже распределена по нормальному закону.

Теперь вернёмся к знакомой задаче, где проводится  независимых испытаний, в каждом из которых некое событие  может появиться с постоянной вероятностью .

Эти испытания можно считать попарно независимым случайными величинами , и при достаточно большом значении «эн» биномиальное распределение случайной величины – числа появлений события  в  испытаниях – очень близко к нормальному.

Уже при  и  в многоугольнике биномиального распределения хорошо просматривается нормальная кривая:

И чем больше , тем ближе будет сходство. Вероятность  может быть и другой, но не слишком малой.

Именно этот факт мы и использовали в теоремах Лапласа – когда приближали  биномиальные вероятности соответствующими значениями функций нормального распределения.

Вот такие вот пироги.

Необычайно интересной, и я бы даже сказал «сочной» получилась эта статья, что бывает далеко не всегда, но всегда вдохновляет на новое творчество! Надеюсь, вам тоже понравилось, и вы освоили весь материал «на одном дыхании».

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: т.к. случайная величина  (диаметр подшипника) распределена нормально, то используем формулу , где  – функция Лапласа. В данном случае:

 – вероятность того, что диаметр  наугад взятого подшипника будет находиться в пределах от 1,4 до 1,6 см.

Ответ:

Пример 5. Решение:используем формулу: .
В данной задаче , таким образом:

откуда находим:
 
Длина искомого интервала составляет

Ответ: 20 мм

Пример 6. Решение:функция плотности нормально распределённой случайной величины имеет вид , где  – математическое ожидание,  – стандартное отклонение.

В данном случае , следовательно:

Выполним чертёж:

! Примечание: несмотря на то, что условие допускает схематическое построение графика, на чертеже обязательно отображаем все его принципиальные особенности, в частности, на забываем о перегибах в точках .

б) Используем формулу , где  – функция Лапласа.
В данной задаче :

 – вероятность того, что случайная величина  примет значение из данного интервала.

в) Используем формулу  для :
 – вероятность того, что значение случайной величины   отклонится от её математического ожидания не более чем на 2.

г) Согласно правилу «трех сигм», практически все значения (99,73%) нормально распределенной случайной  величины входят в интервал . В данном случае:

 – искомый интервал.

Ответ: а) , б) , в) , г)

Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

Источник: http://www.mathprofi.ru/normalnoe_raspredelenie_veroyatnostei.html

Нормально распределенная случайная величина

4.6.3.5. Нормальное распределение

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по нормальному закону (или закону Гаусса).

Нормальное распределение часто встречается в природе — это погрешности измерений, отклонения при стрельбе, показатели живых популяций в природе. Помимо этого, нормальным распределением в пределе можно моделировать биномиальное и пуассоновское.

А центральная предельная теорема позволяет применить нормальный закон еще к сотням изучаемых явлений: «Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному.»

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются нормально распределенные случайные величины. Учитесь легко!

Решим ваши задания подробно
Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Примеры решений

Задача 1. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения.

Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см. 1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.

2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

Задача 2. Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина $X$ с параметрами $a=161$ см и $\sigma=4$ см.

1) Найти функцию плотности вероятности случайной величины $X$ и построить её график.

2) Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

3) Сформулировать правило трёх сигм для случайной величины $X$.

Решение задача о росте мальчиков

Задача 3. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г?

Решение о весе коробок шоколада

Задача 4. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16.2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Решение задачи на нахождение параметров нормального распределения

Задача 5. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.

а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля. б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля.

в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.

Решени задачи о добыче угля

Задача 6. Станок изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение $X$ диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая, что случайная величина $X$ распределена нормально со средним квадратическим отклонением $\sigma = 0,25$ мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Решение задачи про подшипники

Задача 7.

Требуется найти вероятности того, что нормально распределённая случайная величина $X \in N (a, \sigma)$, где $a=4$ — математическое ожидание, $\sigma=5$ — среднее квадратичное отклонение случайной величины $X$, принимает значения: а) в интервале (2,8); б) меньшее 2; в) большее 8;

г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на 10%.

Решение задачи о нормально распределенной СВ

Задача 8. Случайная величина X распределена по нормальному закону $N[-1,2]$. Вычислить 1) вероятность того, что $X\in[-6,1]$

2) вероятность того, что при пяти испытаниях три раза $X\in[M,M +D]$.

Задача 9. С.в. $Y$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 2, и средним квадратическим отклонением, равным 1. Пусть $X=2Y+5$. Найдите вероятности $P(X \gt 10)$, $P(2\lt X \lt 5)$, $P(X=3)$.
Напишите функции плотности и распределения для $X$ и постройте их графики. Как выглядит правило «трех сигм» для с.в. $X$?

Решение задачи о линейной функции от нормальной случайной величины

Задача 10. Заданы функция плотности нормального распределения $f(x)=A e{-9(x-0.5)2/8}$ и интервал $(0,3; 1,9)$.

Требуется: 1) найти математическое ожидание $m$ 2) найти среднее квадратическое отклонение $\sigma$ и дисперсию $D$ 3) найти неизвестный коэффициент $A$ 4) найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

5) построить график функции плотности и на нём отметить площадь, равную найденной вероятности.

Решение при заданной плотности нормального распределения

Задача 11. Плотность распределения вероятностей нормальной случайной величины $X$ имеет вид $f(x)=\gamma e{-x2+6x+3}$. Требуется найти: А) неизвестный параметр $\gamma$, Б) математическое ожидание $M[X]$ и дисперсию $D[X]$, В) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал (3, 4),

Г) вероятность выполнения неравенства $|X-M[X]| \lt 0.2$.

Исследование плотности нормального распределения
Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности (из них более 500 о нормальных случайных величинах):

Примеры задач по теории вероятностей

Источник: https://www.MatBuro.ru/ex_tv.php?p1=tvnorm

6.1.5. Нормальное (гауссовское) распределение

4.6.3.5. Нормальное распределение

Макеты страниц

Это распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению оно впервые рассматривалось А. Муавром еще в 1733 г. (см. ниже теорему Муавра — Лапласа, § 7.3). Некоторое время спустя нормальное распределение было снова открыто и изучено независимо друг от друга К.

Гауссом (1809 г.) и П. Лапласом (1812 г.). Оба ученых пришли к нормальной функции в связи со своей работой по теории ошибок наблюдений. Идея их объяснения механизма формирования ьормально распределенных случайных величин заключается в следующем.

Постулируется, что значения исследуемой непрерывной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия — аддитивный (т. е.

при воздействии случайного фактора F на величину а получается величина ), где случайная «добавка», мала и равновероятна по знаку. Можно показать, что функция плотности случайных величин подобного типа имеет вид

где — параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия данной случайной величины (в виду особой роли нормального распределения мы будем использовать специальную символику для обозначения его функции плотности и функции распределения).

Соответствующая функция распределения нормальной случайной величины обозначается и задается соотношением

Условимся называть нормальный закон с параметрами стандартным, а его функции плотности и распределения обозначать соответственно

Во многих случайных величинах, изучаемых в экономике, технике, медицине, биологии и в других областях, естественно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин. Но центральное место нормального закона не следует объяснять его универсальной приложимостью, как это было принято долгое время (по-видимому, под влиянием блестящих работ К. Гаусса и П.

Лапласса) В этом смысле нормальный закон — это один из многих типов распределения, имеющихся в природе, правда, с относительно большим удельным весом практической приложимости. И потому нам понятна ирония, звучащая в известном высказывании Липмана (цитируемом А. Пуанкаре в своем труде «Исчисление вероятностей», Париж, 1912 г.

): «Каждый уверен в справедливости нормального закона: экспериментаторы — потому, что они думают, что это математическая теорема; математики — потому, что они думают, что это экспериментальный факт».

Однако не следует упускать из виду, что полнота теоретических исследований, относящихся к нормальному закону, а также сравнительно простые математические свойства делают его наиболее привлекательным и удобным в применении.

Даже в случае отклонения исследуемых экспериментальных данных от нормального закона существует по крайней мере два пути его целесообразной эксплуатации: а) использовать его в качестве первого приближения; при этом нередко оказывается, что подобное допущение дает достаточно точные с точки зрения конкретных целей исследования результаты; б) подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины , которое видоизменяет исходный «не нормальный» закон распределения, превращая его в нормальный. Удобным для статистических приложений является и свойство «самовоспроизводимости» нормального закона, заключающееся в том, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин тоже подчиняется нормальному закону распределения.

Кроме того, закон нормального распределения имеет большое теоретическое значение: с его помощью выведен целый ряд других важных распределений, построены различные статистические критерии и т. п. и -распределения и опирающиеся на них критерии, см. п. 6.2.1-6.2.3, а также гл. 11).

Графики нормальных плотностей приведены на рис. 5.5, 5.6, 5.10 и 5.11.

Основные числовые характеристики нормального закона:

Двумерный нормальный закон описывает совместное распределение двумерной случайной величины с непрерывными компонентами механизм формирования значений которых тот же, что и в одномерном случае, причем множества случайных факторов, под воздёйствием которых формируются значения вообще говоря, пересекаются (отсюда возможная зависимость и ).

Введем в рассмотрение основные числовые характеристики двумерной случайной величины

где

Совместная двумерная плотность нормального закона может быть записана в виде

или в виде

где верхний индекс «штрих» означает транспонирование матрицы или вектора, — определитель ковариационной матрицы, а — матрица, обратная к ковариационной. Изображение поверхности плотности двумерного нормального закона приведено на рис. 5.7.

Частные плотности могут быть получены из совместной по формуле (5.15):

Эти формулы означают, что частные законы распределения компонент двумерного нормального закона сами являются одномерными нормальными законами с параметрами соответственно

Условные плотности получаются с использованием общих Формул (5.16) и (5.16):

Отсюда следует в частности, что условное распределение компоненты при фиксированном значении другой компоненты снова описывается нормальным законом, параметр среднего значения которого, как и следовало ожидать, зависит от фиксированного значения

и дисперсия которого не зависит от и равна

Многомерный нормальный закон описывает совместное распределение -мерной случайной величины с непрерывными компонентами механизм формирования значений каждой из которых тот же, что и в одномерном случае, причем множества случайных факторов, под воздействием которых формируются значения вообще говоря, пересекаются (отсюда их возможная взаимозависимость). Задавшись -мерным вектор-столбцом средних значений компонент и (-матрицей ковариации (см. п. 5.6.7), можно выписать -мерную совместную плотность многомерного нормального закона:

Здесь, как и прежде, — вектор-столбец текущих переменных, а — определитель ковариационной матрицы.

Вырожденность матрицы (т. е.

равенство нулю определителя ) делает соответствующее многомерное распределение вырожденным (или несобственным); это означает, в частности, что разброс значений исследуемого многомерного признака сосредоточен в подпространстве меньшей, чем размерности. За исключением некоторых специальных случаев мы всегда будем полагать, что нами уже осуществлен переход в это подпространство меньшей размерности, так что в наших рассуждениях предполагается

Источник: http://scask.ru/q_book_stat1.php?id=55

Нормальное распределение (Гаусса) в Excel

4.6.3.5. Нормальное распределение

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой.

Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением.

Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

σ2 – дисперсия;

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ2). Кратко обозначается N(m, σ2) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение зависит от параметров средней и дисперсии, из-за чего плохо видны его свойства. Хорошо бы иметь некоторый эталон распределения, не зависящий от масштаба данных. И он существует.

Называется стандартным нормальным распределением.

На самом деле это обычное нормальное нормальное распределение, только с параметрами математического ожидания 0, а дисперсией – 1, кратко записывается N(0, 1).

Любое нормальное распределение легко превращается в стандартное путем нормирования:

где z – новая переменная, которая используется вместо x;
m – математическое ожидание;
σ – стандартное отклонение.

Для выборочных данных берутся оценки:

Среднее арифметическое и дисперсия новой переменной z теперь также равны 0 и 1 соответственно. В этом легко убедиться с помощью элементарных алгебраических преобразований.

В литературе встречается название z-оценка. Это оно самое – нормированные данные. Z-оценку можно напрямую сравнивать с теоретическими вероятностями, т.к. ее масштаб совпадает с эталоном.

Посмотрим теперь, как выглядит плотность стандартного нормального распределения (для z-оценок). Напомню, что функция Гаусса имеет вид:

Подставим вместо (x-m)/σ букву z, а вместо σ – единицу, получим функцию плотности стандартного нормального распределения:

График плотности:

Центр, как и ожидалось, находится в точке 0. В этой же точке функция Гаусса достигает своего максимума, что соответствует принятию случайной величиной своего среднего значения (т.е. x-m=0). Плотность в этой точке равна 0,3989, что можно посчитать даже в уме, т.к. e0=1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже.

Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения.

Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные.

Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы. 

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0, т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен). 

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Рисунок ниже.

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к.

окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов.

Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Нормальное распределение в Excel

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ(z) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

=НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная)

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ(z), если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z

Источник: https://statanaliz.info/statistica/teoriya-veroyatnostej/normalnoe-raspredelenie-v-excel/

Нормальное распределение

4.6.3.5. Нормальное распределение
 КАЛЬКУЛЯТОР ТАБЛИЦА |

Вероятность, что подброшенная монета упадёт орлом вверх 50%, что при броске шестигранного кубика выпадет 4 — 16,7%, что завтра на кого-нибудь упадёт метеорит — 0.00000000294%.

Это простые примеры, достаточно разделить количество желаемых событий на общее количество случаев и мы получаем вероятность события, но когда результаты эксперимента могут быть не только орлом или решкой (что эквивалентно да/нет), а большим набором данных.

Например, вес батона хлеба, если мы возьмём в магазине 1000 буханок хлеба и взвесим каждую, то мы узнаем, что на самом деле батон не весит 400 грамм, результаты будут варьироваться в диапазоне 384-416 грамм (допуск разброса веса предусмотрен ГОСТом).

Если Вы построите график «Количество буханок — Вес», то график будет иметь форму напоминающую колокол, что-то похожее на следующий график:

Плотность вероятности нормального распределения

Такую форму график получит потому, что большинство значений близко к 400. Это — пример нормального распределения, множество событий имеют закон нормального распределения, например, вес или рост для определённого возраста, или среднее время Вашего похода до магазина и многие другие события также подчиняются закону нормального распределения.

Вот так работают маркетологи: проводят опрос 1000 человек и получают представление о всём населении

В случае таблицы Вы имеете дело с дискретными данными, т.е. для каждого веса есть определённая вероятность, но в случае графика дело немного меняется, теперь мы говорим не о 1000 буханок, которые мы взвесили, а обо всех буханках в мире сразу! Зачем? Что бы не взвешивать все буханки.

Имея закон распределения, который мы получили взвесив 1000 буханок (мы могли взвесить 100, 200, 500, сколько угодно), мы можем предположить, что сколько бы мы буханок не взяли, замерив их, мы получим ту же форму колокола.

Используя термины статистики, все буханки хлеба — это генеральная совокупность, 1000 замеренных буханок — выборка.

Теперь, возьмём одну буханку хлеба, какова вероятность, что её вес будет между 390г и 400г?

Вероятность события между a и b:

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) — P(X ≤ a)

Распределение вероятности — это функция, в которой для каждого события Х присваивается вероятность p, что событие произойдёт

Распределение Гаусса

Нормальное распределение получило своё название абсолютно справедливо: по статистике, большинство событий происходят именно с вероятностью нормального распределения, но что это значит? Это означает, например, что когда Вы видите на упаковке хлеба обозначение «Вес: 400±16г» — вес батона имеет нормальное распределение со средним значением 400г и стандартным отклонением 16г.

Таблица нормального распределения — это затабулированные значения функции нормального распределения.

Для нахождения вероятности события Z0 можно воспользоваться таблицей нормального распределения ниже. На пересечении строк (n) и столбцов (m) находится значение вероятности n+m.

Z0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2
0.5000.5040.5080.5120.5160.5200.5240.5280.5320.536
0.5400.5440.5480.5520.5560.5600.5640.5680.5710.575
0.5790.5830.5870.5910.5950.5990.6030.6060.6100.614
0.6180.6220.6250.6290.6330.6370.6410.6440.6480.652
0.6550.6590.6630.6660.6700.6740.6770.6810.6840.688
0.6920.6950.6990.7020.7050.7090.7120.7160.7190.722
0.7260.7290.7320.7360.7390.7420.7450.7490.7520.755
0.7580.7610.7640.7670.7700.7730.7760.7790.7820.785
0.7880.7910.7940.7970.7990.8020.8050.8080.8110.813
0.8160.8190.8210.8240.8260.8290.8320.8340.8370.839
0.8410.8440.8460.8490.8510.8530.8550.8580.8600.862
0.8640.8670.8690.8710.8730.8750.8770.8790.8810.883
0.8850.8870.8890.8910.8920.8940.8960.8980.9000.901
0.9030.9050.9070.9080.9100.9110.9130.9150.9160.918
0.9190.9210.9220.9240.9250.9260.9280.9290.9310.932
0.9330.9340.9360.9370.9380.9390.9410.9420.9430.944
0.9450.9460.9470.9480.9500.9510.9520.9530.9540.955
0.9550.9560.9570.9580.9590.9600.9610.9620.9630.963
0.9640.9650.9660.9660.9670.9680.9690.9690.9700.971
0.9710.9720.9730.9730.9740.9740.9750.9760.9760.977
0.9770.9780.9780.9790.9790.9800.9800.9810.9810.982
0.9820.9830.9830.9830.9840.9840.9850.9850.9850.986
0.9860.9860.9870.9870.9880.9880.9880.9880.9890.989
0.9890.9900.9900.9900.9900.9910.9910.9910.9910.992
0.9920.9920.9920.9930.9930.9930.9930.9930.9930.994
0.9940.9940.9940.9940.9950.9950.9950.9950.9950.995
0.9950.9960.9960.9960.9960.9960.9960.9960.9960.996
0.9970.9970.9970.9970.9970.9970.9970.9970.9970.997
0.9970.9980.9980.9980.9980.9980.9980.9980.9980.998
0.9980.9980.9980.9980.9980.9980.9990.9990.9990.999
0.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.999
0.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.999
0.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9990.9991.000
Таблица 1. Таблица нормального распределения. Красным выделены часто используемые значения при выборе критической области

Нормальное распределение — среднее 0 и отклонение 1?

Не только. График нормального распределения построен для среднего значения ноль и стандартного отклонения единица, т.е. 0±1. Но если Ваши среднее и отклонение отличаются от нуля и единицы, то к Вашим услугам следующая формула:

Z = (X — μ) / σ

Где μ и σ — среднее значение и стандартное отклонение для Вашего распределения соответственно, а X — величина, для которой Вы хотите узнать вероятность. Возвращаясь к примеру с батоном хлеба — для того, что бы узнать, какова вероятность, что батон будет весить меньше 396 грамм — необходимо подставить в формулу значения X=396, μ = 400, σ = 16:

Z = (396 — 400) / 16 = -0.25

Далее, по таблице необходимо найти значение для Z. Как для Z = -0.25, так и для Z = 0.25 это будет 0,5987 (нормальное распределение симметрично, поэтому значение вероятности определяется для абсолютного значения Z: график симметричен относительно оси Y, поэтому значение вероятности не зависит от знака X)

Свойства функции распределения

  • Симметрична относительно центра (среднее значение — математическое ожидание μ)
  • Мода и медиана равны математическому ожиданию μ

Функция распределения

Функция распределения предназначена для того, что бы определить, какова вероятность, что величина X меньше или равна некоторого числа x.

На примере батона из первого абзаца: если мы хотим узнать, какова вероятность, что батон будет весить меньше 410 грамм, то, воспользовавшись формулой приведения, получим Z=0.63 и значение P(X

Источник: https://k-tree.ru/tools/statistics/normal.php

Book for ucheba
Добавить комментарий