Рациональные и иррациональные функции

Рациональные и иррациональные функции по Юнгу | Творческие проекты и работы учащихся

Рациональные и иррациональные функции

Юнг разделил все психологические функции на два класса: рациональные (мышление и чувство) и иррациональные (интуиция и ощущение).

Ученый отмечал, что рациональное есть разумное, соотносящееся с разумом, соответствующее ему, определяя разум, как ориентацию на нормы и объективные ценности, накопленные в социуме.

Иррациональное по Юнгу – это не что-то противоразумное, а лежащее вне разума, на разуме не основанное.

«Мышление и чувство являются функциями рациональными, поскольку решающее влияние на них оказывает момент размышления, рефлексии. Иррациональные же функции суть те, целью которых является чистое восприятие, таковы интуиция и ощущение, потому что они должны для полного восприятия как можно более отрешиться от всего рационального.

В соответствии со своей природой [интуиция и ощущение] должны быть направлены на абсолютную случайность и на всякую возможность, поэтому они должны быть совершенно лишены рационального направления. Вследствие этого я обозначаю их как функции иррациональные, в противоположность мышлению и чувству, которые суть функции,

И рациональный, и иррациональный подход могут сыграть свою роль в решении разных ситуаций. Юнг писал, что слишком большое ожидание или даже уверенность в том, что для каждого конфликта должна существовать возможность разумного разрешения, может помешать его действительному разрешению на иррациональном пути.

Используя введенные понятия, Юнг построил типологию. Для этого он рассмотрел каждую из четырех психологических функций в двух установках: как в экстравертной, так и в интровертной и определил соответственно 8 психологических типов.

Он утверждал, что как экстравертированный, так и интровертированный тип может быть или мыслительным, или чувствующим, или интуитивным, или ощущающим. Подробные описания типов Юнг привел в своей книге «Психологические типы». Для лучшего понимания типологии Юнга сведем все 8 типов в таблицу.

РациональныеИррациональные
ЭкстравертыЭкстравертный мыслительный типЭкстравертный чувствующий типЭкстравертный ощущающий типЭкстравертный интуитивный тип
ИнтровертыИнтровертный мыслительный типИнтровертный чувствующий типИнтровертный ощущающий типИнтровертный интуитивный тип

Не следует забывать, что живой человек, хотя и принадлежащий к какому-то из типов личности, не станет всегда проявлять типологические черты. Речь идет лишь о предпочтениях: ему удобнее, легче поступать в соответствии со своим психологическим типом.

Каждый человек успешнее в деятельности, свойственной его типу личности, но он при желании имеет полное право развивать в себе и применять в жизни и в работе и свои слабые качества.

Исследование проводилось на основе теста, разработанного К.Г. Юнгом, осуществлялось на базе «Новониколаевская СОШ № 3». В опросе участвовало 25 человек в возрасте 16-17 лет.

Диагностическая цель: выявление типологических особенностей личности.

Процедура: на каждый вопрос имеется два варианта ответа, необходимо выбрать наиболее подходящий для ответа и поставить букву, обозначающую этот ответ.

Обработка результатов: подсчитать количество ответов и умножить на пять.

Анализируя результаты, можно сказать, что у 32% учащихся (8 чел.

) характеризуется экстраверсия: легки в общении, высокий уровень агрессивности, имеют тенденцию к лидерству, любят быть в центре внимания, легко завязывают контакты, импульсивны, открыты; судят о людях по внешности, не заглядывают внутрь. 12 % (3 чел.

) — интроверсия: направлены на мир собственных переживаний, мало контактны, молчаливы, с трудом заводят новые знакомства, не любят рисковать, тяжело переживают разрыв старых связей, высокий уровень тревожности.

Также мы выявили, что у большинства респондентов – 56% (14 чел.) присутствуют слабовыраженные черты обоих типов, их следует отнести к амбивертам. Амбиверты любят бывать в компании, но не прочь вечером посидеть дома с книжкой.

Люди, которые умеют извлекать сильные стороны обоих типов личности – способность к уединению, сосредоточенности и самоанализу интроверта с коммуникабельностью, дружелюбием и открытостью характера экстраверта – обладают преимуществом. Именно они оказываются востребованы там, где необходимы гибкость и умение найти подход к людям. (Приложение 3)

Источник: https://mail.tvorcheskie-proekty.ru/node/1709

§ 5. Элементарные функции и их классификация

Рациональные и иррациональные функции

Макеты страниц

Как известно, в элементарной математике изучаются следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в произвольную степень, извлечение корня, логарифмирование и отыскание значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса). Эти действия называют элементарными. Элементарные действия делятся на

алгебраические и элементарные трансцендентные. Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень и извлечение корня называются алгебраическими действиями. Возведение в иррациональную степень, логарифмирование и нахождение значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций называются элементарными трансцендентными действиями.

Элементарные действия могут выполняться, в зависимости от обстоятельств, в той или иной наперед заданной последовательности над данными числами и буквами — аргументами, т. е. над буквами, которые могут принимать различные численные значения. Всюду дальше, где будет идти речь об элементарных действиях, будем считать, что они выполняются конечное число раз.

С помощью элементарных действий задаются так называемые элементарные функции. Определение элементарной функции можно формулировать следующим образом.

Функция называется элементарной, если ее значения могут быть получены из значений аргументов и постоянных чисел посредством выполнения конечного числа элементарных действий.

Известные читателю из школьного курса математики элементарные функции

называют основными элементарными функциями. Очевидно, что все другие элементарные функции можно получить из постоянных чисел и основных элементарных функций с помощью определенного числа элементарных действий.

Запись тех элементарных действий, которые необходимо выполнить над постоянными числами и значениями аргументов, чтобы получить соответствующее значение элементарной функции, будем называть элементарным аналитическим выражением.

Для элементарных аналитических выражений принята следующая классификация.

Выражение, составленное из аргументов и чисел (обозначенных цифрами или буквами) с помощью лишь алгебраических действий, называют алгебраическим.

Выражение, составленное из аргументов и чисел с помощью элементарных действий, в числе которых есть элементарные трансцендентные действия над аргументами, называется элементарным трансцендентным. Так, например, выражения алгебраические, а выражения элементарные трансцендентные.

Алгебраическое выражение называется рациональным, если оно не содержит действия извлечения корня из аргументов.

Алгебраическое выражение, содержащее действие извлечение корня из аргумента, называется иррациональным.

Рациональное выражение, не содержащее действия деления на выражения, в состав которых входят аргументы, называется целым рациональным выражением или многочленом.

Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит действие деления на выражения, в состав которых входят аргументы.

Выражения рациональные. Первое — целое рациональное, второе — дробное. Выражения иррациональные.

Элементарные функции делятся на алгебраические и элементарные трансцендентные. Элементарные функции, которые могут быть заданы с помощью алгебраических выражений, называют алгебраическими. Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называют элементарными трансцендентными.

Иначе говоря, элементарная трансцендентная функция — это функция, которая задается с помощью элементарного трансцендентного выражения и не может быть задана с помощью алгебраического выражения.

Алгебраические функции в свою очередь делятся на рациональные и иррациональные.

Алгебраические функции, которые могут быть заданы с помощью рациональных выражений, называют рациональными. Алгебраические функции, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

Следовательно, иррациональная функция — функция, которая задается с помощью иррационального выражения и не может быть задана с помощью рационального выражения.

Рациональная функция называется целой рациональной или многочленом, если она задается с помощью целого рационального выражения; она называется дробной, если задается с помощью дробного выражения и не может быть задана с помощью целого рационального выражения.

Источник: http://scask.ru/o_book_ela.php?id=5

Алгебраические функции

Рациональные и иррациональные функции

Чтобы не заблудиться среди огромного разнообразия функций, очень важно выделить признаки той их части, которая называется алгебраическими функциями.

Прежде всего определимся с элементарными функциями.

Определение

Любая функция $f$ считается элементарной, если она задана одним уравнением $y=f\left(x\right)$, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и композиций.

В определении применены следующие понятия:

  1. Арифметические действия

    Это значит, что над двумя данными произвольными функциями $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ в данной области определения можно выполнять сложение $u\left(x\right)+v\left(x\right)$, вычитание $u\left(x\right)-v\left(x\right)$, умножение $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$, а также деление $\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} $. При делении предполагается, что для всех $x$ из данной области определения выполняется условие $v\left(x\right)e 0$.

  2. Операция композиции

    Операция композиции состоит в следующем. Пусть $y$ является функцией от $u$, то есть $y=f\left(u\right)$. Пусть также в свою очередь, $u$ является функцией независимой переменной $x$, то есть $u=g\left(x\right)$. В этих условиях функция $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ называется композицией данных функций $f$ и $g$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Функция $y=\frac{x\cdot 3{x} }{\sqrt{2-\cos x} } +\arcsin {2} x$ является элементарной. В ней использованы все четыре арифметических действия, основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, тригонометрическая и обратная тригонометрическая), а также представлены композиции функций в виде $\arcsin {2} x$ и $\sqrt{2-\cos x} $.

Все элементарные функции распределяют на алгебраические и трансцендентные (те, которые к алгебраическим не относятся).

Разновидности алгебраических функций

Существует три основных разновидности алгебраических функций.

Целые рациональные функции (многочлены, полиномы)

Это функции вида $y=P\left(x\right)=a_{n} \cdot x{n} +a_{n-1} \cdot x{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} $, где $a_{0} ,\; a_{1} ,\; \ldots ,\; a_{n} $ — постоянные действительные числа, называемые коэффициентами, $n$ — целое неотрицательное число. Если $a_{n} e 0$, то $n$ называют степенью многочлена.

Пример 2

Многочлен второй степени $y=3\cdot x{2} -x+5$. Многочлен нулевой степени $y=7$.

Это функции вида $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{a_{n} \cdot x{n} +a_{n-1} \cdot x{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} }{b_{m} \cdot x{m} +b_{m-1} \cdot x{m-1} +\ldots +b_{1} \cdot x+b_{0} } $, представляющие собой отношение двух многочленов.

Пример 3

Рациональная дробь $y=\frac{x{2} +1}{7\cdot x{3} +4\cdot x-2} $.

В состав таких функций входят рациональные функции с нецелыми рациональными показателями степени при использовании арифметических действий. Внешний признак иррациональной функции — наличие корней различной степени.

Пример 4

Иррациональная функция $y=3-\sqrt[{5}]{x{2} } +\sqrt{\frac{x+1}{x{2} -1} } $.

Дана рациональная дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{a_{n} \cdot x{n} +a_{n-1} \cdot x{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} }{b_{m} \cdot x{m} +b_{m-1} \cdot x{m-1} +\ldots +b_{1} \cdot x+b_{0} } $, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — многочлены. Пусть коэффициенты $a_{n} e 0$ и $b_{m} e 0$. Тогда указанные многочлены имеют степени $n$ и $m$ соответственно. Данная рациональная дробь определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель $Q\left(x\right)=0$.

Рациональную дробь называют правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть $n

Если рациональная дробь является неправильной, то посредством деления числителя $P\left(x\right)$ на знаменатель $Q\left(x\right)$ её можно представить в виде$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =M\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ или $P\left(x\right)=M\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)+R\left(x\right)$, где $\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ — правильная рациональная дробь, а многочлены $M\left(x\right)$ и $R\left(x\right)$ — соответственно частное и остаток от деления многочленов. При этом сумма степеней многочленов $M\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ равна степени многочлена $P\left(x\right)$.

Задача 1

Разделить многочлены $\frac{3\cdot x{4} -2\cdot x{3} -x{2} +7\cdot x-5}{x{2} -2\cdot x+3} $.

Деление в данном случае возможно, так как степень числителя (четвёртая) больше степени знаменателя (вторая). Деление многочленов выполняем «углом».

Результат деления имеет следующий вид:

\[\frac{3\cdot x{4} -2\cdot x{3} -x{2} +7\cdot x-5}{x{2} -2\cdot x+3} =3\cdot x{2} +4\cdot x-2+\frac{-9\cdot x+1}{x{2} -2\cdot x+3} .\] Здесь $M\left(x\right)=3\cdot x{2} +4\cdot x-2$ — частное от деления, $R\left(x\right)=-9\cdot x+1$ — остаток от деления.

Рациональная дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $, как и числовая, бывает сократимой или несократимой. Предположим, что данная рациональная дробь является сократимой, так как оба многочлена $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ имеют общие множители, содержащие переменную $x$.

Произведение всех этих множителей называется наибольшим общим делителем данных многочленов, то есть $P\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot P_{1} \left(x\right)$ и $Q\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot Q_{1} \left(x\right)$, где многочлен $N\left(x\right)$ — наибольший общий делитель.

В этом случае данная рациональная дробь приобретает вид $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{N\left(x\right)\cdot P_{1} \left(x\right)}{N\left(x\right)\cdot Q_{1} \left(x\right)} =\frac{P_{1} \left(x\right)}{Q_{1} \left(x\right)} $, где рациональная дробь $\frac{P_{1} \left(x\right)}{Q_{1} \left(x\right)} $ является несократимой, а многочлены $P_{1} \left(x\right)$ и $Q_{1} \left(x\right)$ называются взаимно простыми. Если многочлен $N\left(x\right)$ — какой-то один наибольший общий делитель, то многочлены $C\cdot N\left(x\right)$, где $C$ — произвольная константа, тоже будут наибольшими общими делителями. Общим делителем взаимно простых многочленов может считаться произвольная константа.

Наибольший общий делитель многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ можно найти с помощью алгоритма Евклида:

  1. пусть $U\left(x\right)$ и $V\left(x\right)$ — это новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$, причем $U\left(x\right)$ — это тот, который имеет большую степень;
  2. делим многочлен $U\left(x\right)$ на многочлен $V\left(x\right)$ и получаем $\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =M\left(x\right)+\frac{P\left(x\right)}{V\left(x\right)} $, где новый многочлен $P\left(x\right)$ представляет собой остаток от деления;
  3. обозначаем многочлен $V\left(x\right)$ как $Q\left(x\right)$ и возвращаемся на шаг 1.

Выполнение данного алгоритма повторяем, пока на шаге 2 не будет достигнуто нулевое значение остатка от деления $P\left(x\right)=0$. Тогда предпоследний, отличный от нуля остаток от деления, будет наибольшим общим делителем данных многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$.

Если полученный по алгоритму Евклида наибольший общий делитель будет иметь вид многочлена $N\left(x\right)$, зависящего от $x$, то данную рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ можно сократить посредством деления и числителя, и знаменателя на $N\left(x\right)$. Если же наибольший общий делитель будет получен в виде константы, то данную рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ следует считать несократимой.

Задача 2

Сократить рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{x{2} +x-6}{x{3} +2\cdot x{2} -4\cdot x-3} $.

Сначала по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$:

\[U\left(x\right)=x{3} +2\cdot x{2} -4\cdot x-3; V\left(x\right)=x{2} +x-6.\]

Шаг 2. Результат деления многочленов:

$\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =\frac{x{3} +2\cdot x{2} -4\cdot x-3}{x{2} +x-6} =x+1+\frac{x+3}{x{2} +x-6} $, где новый многочлен $P\left(x\right)=x+3$ представляет собой остаток от деления.

Задача 3

Переобозначаем $Q\left(x\right)=x{2} +x-6$ и возвращаемся на шаг 1.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$:

\[U\left(x\right)=x{2} +x-6; V\left(x\right)=x+3.\]

Шаг 2. Результат деления многочленов: $\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =\frac{x{2} +x-6}{x+3} =x-2$, где остаток от деления $P\left(x\right)=0$.

Таким образом, наибольший общий делитель — это предыдущий, отличный от нуля остаток, то есть $N\left(x\right)=x+3$. Этот наибольший общий делитель представляет собой многочлен, зависящий от $x$, следовательно, сокращение данной рациональной дроби возможно:

\[\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{x{2} +x-6}{x{3} +2\cdot x{2} -4\cdot x-3} =\frac{x-2}{x{2} -x-1} .\]

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/chislo_peremennaya_funkciya/algebraicheskie_funkcii/

Book for ucheba
Добавить комментарий